【求高等数学所有的求导公式】在高等数学中，求导是微积分的重要组成部分，广泛应用于函数分析、物理建模、工程计算等多个领域。掌握基本的求导公式是学习微积分的基础。本文将对常见的求导公式进行系统总结，并以表格形式展示，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
二、导数的运算法则
| 法则名称 | 表达式 |
| 常数倍法则 | $ (Cf(x))' = C f'(x) $ |
| 加减法则 | $ (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) $ |
| 乘积法则 | $ (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ |
| 商法则 | $ \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ |
| 链式法则 | $ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
三、高阶导数与隐函数求导
- 高阶导数：对函数连续求导多次，如：
- $ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} $
- $ y''' = \frac{d^3y}{dx^3} $
- 隐函数求导：若 $ F(x, y) = 0 $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}
$$
四、反函数的导数
若 $ y = f(x) $ 的反函数为 $ x = f^{-1}(y) $，则：
$$
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}, \quad \text{当 } \frac{dy}{dx} \neq 0
$$
五、参数方程求导
设 $ x = x(t) $，$ y = y(t) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}, \quad \text{当 } \frac{dx}{dt} \neq 0
$$
六、常用导数公式汇总表（简略版）
| 函数类型 | 导数公式 |
| 多项式函数 | $ (x^n)' = nx^{n-1} $ |
| 指数函数 | $ (a^x)' = a^x \ln a $，$ (e^x)' = e^x $ |
| 对数函数 | $ (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} $，$ (\ln x)' = \frac{1}{x} $ |
| 三角函数 | $ (\sin x)' = \cos x $，$ (\cos x)' = -\sin x $，$ (\tan x)' = \sec^2 x $ |
| 反三角函数 | $ (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $，$ (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $，$ (\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2} $ |
总结
高等数学中的求导公式是解决各种数学问题的核心工具，掌握这些公式不仅有助于提高解题效率，还能加深对函数性质的理解。通过不断练习和应用，可以逐步形成对导数的灵活运用能力。希望本文的整理能为大家的学习提供便利。