【分度圆渐开线曲率半径如何计算】在机械传动中，齿轮的齿廓通常采用渐开线形状，以保证传动平稳、啮合性能良好。而渐开线的几何特性决定了其在不同位置处的曲率半径也有所不同。本文将总结分度圆上渐开线曲率半径的计算方法，并通过表格形式直观展示关键参数。
一、渐开线的基本概念
渐开线是当一个动点沿直线（基圆切线）移动时，该点与直线上的某固定点之间的连线所形成的轨迹。在齿轮设计中，渐开线作为齿廓曲线，其形状由基圆决定。
二、分度圆与渐开线的关系
分度圆是齿轮设计中的一个重要基准圆，其直径为 $ d = m \cdot z $，其中 $ m $ 为模数，$ z $ 为齿数。渐开线在分度圆上的曲率半径是衡量齿廓弯曲程度的重要参数。
三、分度圆渐开线曲率半径的计算公式
对于标准渐开线齿轮，在分度圆上渐开线的曲率半径 $ R $ 可以通过以下公式计算：
$$
R = r_b \cdot \tan(\alpha)
$$
其中：
- $ r_b $ 是基圆半径，计算公式为 $ r_b = r \cdot \cos(\alpha) $
- $ r $ 是分度圆半径，即 $ r = \frac{d}{2} $
- $ \alpha $ 是压力角（一般为 20°）
因此，最终公式可简化为：
$$
R = \frac{d}{2} \cdot \cos(\alpha) \cdot \tan(\alpha)
$$
或者：
$$
R = \frac{d}{2} \cdot \sin(\alpha)
$$
（由于 $ \cos(\alpha) \cdot \tan(\alpha) = \sin(\alpha) $）
四、典型参数对照表
| 参数名称 | 符号 | 公式或数值 | 单位 |
| 分度圆直径 | $ d $ | $ m \cdot z $ | mm |
| 分度圆半径 | $ r $ | $ \frac{d}{2} $ | mm |
| 基圆半径 | $ r_b $ | $ r \cdot \cos(\alpha) $ | mm |
| 压力角 | $ \alpha $ | 20°（标准值） | 度 |
| 分度圆渐开线曲率半径 | $ R $ | $ r \cdot \sin(\alpha) $ | mm |
五、实际应用示例
假设一个标准齿轮，模数 $ m = 5 $ mm，齿数 $ z = 20 $，压力角 $ \alpha = 20^\circ $，则：
- 分度圆直径 $ d = 5 \times 20 = 100 $ mm
- 分度圆半径 $ r = 50 $ mm
- 基圆半径 $ r_b = 50 \times \cos(20^\circ) ≈ 46.98 $ mm
- 曲率半径 $ R = 50 \times \sin(20^\circ) ≈ 17.10 $ mm
六、总结
分度圆上的渐开线曲率半径是齿轮设计和分析中的重要参数，直接影响齿轮的传动性能和强度。通过上述公式和表格，可以快速计算出该曲率半径，为齿轮的设计与优化提供理论依据。在实际工程中，还需结合具体工况进行调整和验证。