【请问arcsinx】在数学中，arcsinx 是一个常见的反三角函数，用于求解正弦值为 x 的角度。它是 sinx 的反函数，但为了保证其单值性，通常定义在特定的区间内。以下是对 arcsinx 的详细总结。
一、基本概念
- 定义：arcsinx 表示的是满足 sinθ = x 的角度 θ，其中 x ∈ [-1, 1]。
- 范围：arcsinx 的取值范围是 $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$（即 -90° 到 90°）。
- 图像：arcsinx 是一个单调递增函数，在 x ∈ [-1, 1] 上连续。
二、关键性质
| 属性 | 内容 |
| 定义域 | $ x \in [-1, 1] $ |
| 值域 | $ y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $ |
| 单调性 | 单调递增 |
| 奇偶性 | 奇函数，即 $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $ |
| 导数 | $ \frac{d}{dx} \arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $（x ≠ ±1） |
三、常见值对照表
| x | arcsinx（弧度） | arcsinx（角度） |
| -1 | $-\frac{\pi}{2}$ | -90° |
| -0.5 | $-\frac{\pi}{6}$ | -30° |
| 0 | 0 | 0° |
| 0.5 | $\frac{\pi}{6}$ | 30° |
| $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\pi}{4}$ | 45° |
| $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\pi}{3}$ | 60° |
| 1 | $\frac{\pi}{2}$ | 90° |
四、应用场景
- 在物理中，用于计算角度或位移；
- 在工程和计算机图形学中，用于旋转矩阵和向量方向计算；
- 在数学分析中，常用于积分与微分运算。
五、注意事项
- arcsinx 只能对介于 -1 和 1 之间的数值进行计算；
- 若输入超出此范围，结果将为未定义（NaN）；
- 不同编程语言中实现略有差异，需注意单位（弧度或角度）。
通过以上总结可以看出，arcsinx 是一个重要的反三角函数，理解其定义、性质及应用有助于更深入地掌握数学知识，并在实际问题中灵活运用。