【求原函数公式】在微积分中，求原函数是积分运算的核心内容之一。原函数是指一个函数的导数等于给定函数的函数，即若 $ F'(x) = f(x) $，则称 $ F(x) $ 为 $ f(x) $ 的一个原函数。求原函数的过程也称为不定积分，记作：
$$
\int f(x) \, dx = F(x) + C
$$
其中 $ C $ 是积分常数。
为了帮助理解常见的函数及其对应的原函数，以下是对一些基本函数的原函数进行总结，并以表格形式呈现。
一、常见函数与原函数对照表
| 原函数 $ f(x) $ | 原函数 $ F(x) $（不定积分） | 说明 | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ （$ n \neq -1 $） | 幂函数积分公式 | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ | 对数函数积分 |
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | 指数函数积分 | ||
| $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $ | 指数函数积分（$ a > 0 $, $ a \neq 1 $） | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | 三角函数积分 | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | 三角函数积分 | ||
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | 三角函数积分 | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | 三角函数积分 | ||
| $ \frac{1}{1+x^2} $ | $ \arctan x + C $ | 反三角函数积分 | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $ | $ \arcsin x + C $ | 反三角函数积分 |
二、注意事项
1. 积分常数 $ C $：由于原函数不唯一，因此在计算不定积分时必须加上任意常数 $ C $。
2. 特殊情况处理：如 $ f(x) = x^{-1} $ 时，不能使用幂函数积分公式，而应使用对数函数积分。
3. 复合函数的积分：对于更复杂的函数，如 $ \sin(ax + b) $ 或 $ e^{ax} $，需要结合换元法或分部积分法来求解。
三、小结
求原函数是微积分中的基础操作，掌握常见函数的积分公式有助于快速解决实际问题。通过表格形式可以清晰地看到不同函数与其对应的原函数之间的关系。在实际应用中，还需结合各种积分技巧，如换元法、分部积分等，才能应对更复杂的积分问题。
原创声明：本文为原创内容，基于常见数学知识整理而成，旨在提供清晰的原函数公式参考。